塑料托盤塑料成型流動模擬數(shù)學(xué)模型的建立

北京塑料托盤興鵬認(rèn)為：我們要進(jìn)行數(shù)值模擬，必須建立塑料熔體流動的主控方程，而實際塑料熔體 的流動是非牛頓粘彈性流體，非等溫、非穩(wěn)態(tài)的，這是無法直接用粘性流動力學(xué) 的基本方程，只能進(jìn)行必要的合理簡化后才能實現(xiàn)。

1）粘性流體力學(xué)基本方程

（1）連續(xù)性方程：由質(zhì)量守恒定律可得，連續(xù)性方程表達(dá)式為:

業(yè)+ Q坐=0

dt dx.

式中Q是體積質(zhì)量，X,是速度；§是全微分，在歐拉坐標(biāo)系中可寫為

dt

dt dt 8耳

（2）運動方程：根據(jù)動量守恒定律運動流體的運動方程表達(dá)式為:

呸+pF ”呸 (2-3)

g dt

式中命是Cauchy應(yīng)力張量；*是單位質(zhì)量流體所受的外力。

(3) 能量方程：由能量守恒定律可得，粘性流體的能量方程表達(dá)式為：

四空竺+6+23竺)+伽 (2-4) p dt %, dx, 5x/ ”

式中，g是單位質(zhì)量流體的熱流量；人是熱導(dǎo)率；印是質(zhì)量定容熱容；①是粘性 熱；p是壓力；T是溫度。

(4) 本構(gòu)方程：根據(jù)廣義牛頓摩擦定律，本構(gòu)方程表達(dá)式為：

勾=衲j-(p-k京咒 (2-5)

式中，〃是流體的動力粘度，對于非牛頓流體〃為一常數(shù)；左是材質(zhì)系數(shù)；勾是應(yīng) 變速率張量，其分量可用下式表示：

勺旦(魚+駕

⁷ 2 dXj dx_i

5) 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程是用來表示壓力p,溫度T及體積質(zhì)量Q之間的關(guān)

系。當(dāng)流體是可壓縮的，流體的運動就須考慮到熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)的影響。建立的 狀態(tài)方程為：

P = P(P，T) (2-7)

塑料成型流動模擬實質(zhì)上就是對以上7個粘性流體力學(xué)基本方程進(jìn)行求解。

在一定的初值條件下，通過對式(2-1),式(2-3),式(2-4),式(2-7)求 解，就能夠得到熔體的壓力、溫度及流動速率，對式(2-5)和式(2-6)求解就 能夠得到剪切應(yīng)變速率和剪切應(yīng)力。雖然，理論上只要有合適的初始條件，我們 就能求解出以上7個方程組的一組封閉解，但工程實踐中，數(shù)學(xué)上對所有這些方 程組進(jìn)行求解一般相當(dāng)?shù)睦щy，即使采用數(shù)值計算方法也很難求解成功，所以就 要求我們對方程組進(jìn)行相應(yīng)的簡化，才能夠求出方程組解。工程實際中，我們就 是根據(jù)塑料熔體充模流動的特點，提出若干假設(shè)，將方程組簡化，然后再進(jìn)行求 解。2) 流動狀態(tài)的假設(shè)與簡化

1) 充模流動時，由于型腔中熔體溫度不高，體積可視為不可壓縮，即也=0 , 這時狀態(tài)方程可簡化為#=常數(shù)。

(2) 塑料熔體粘度大，粘性剪切力大，相比而言慣性力和質(zhì)量力就很小，可

忽略不計，即式(2-3)中的p*•和可忽略不計。

(3) 在熔體流動方向上，熱傳導(dǎo)遠(yuǎn)小于熱對流，所以可忽略熱傳導(dǎo)項，即式 (2-4)中的旦(人馬+項_(人當(dāng)可忽略不計。熔體不含熱源，即疔0。

 dx dy dy

(4) 焰體的質(zhì)量定容率勺和熱導(dǎo)率;l與溫度有關(guān)。在充模過程中，通常他們 可以視為常數(shù)，因為它的溫度變化范圍不大。

(5) 認(rèn)為塑料熔體流動時是非彈性的，

(6) 塑料熔體的粘度模型采用克羅斯(Cross)模型：

（2-8）

式中廣為材料常數(shù)；〃為牛頓指數(shù)；為零剪切粘度，爪=日時亦(式中8, L， 0均為材料常數(shù))。

3) 初邊值條件

求解上述偏微分方程組的積分常數(shù)是通過初始條件和邊界條件來確定的，其 中初始條件是指注塑開始時區(qū)域內(nèi)的參數(shù)，如溫度、壓力等；邊界條件則是指邊 界上各物理量的值，具體有如下三種：

(1) 速度邊界條件：在塑料成型時，由于熔體的粘連性，與模腔內(nèi)表面接觸 的熔體速度等于模腔表面的速度，即邊界速度為0；另外熔體沿型腔壁厚方向都是 對稱流動，所以在中心軸處的速度梯度也是0。所以在速度邊界上，給出速度和速 度梯隊均為0。

^v> =v_osJi—-^L = 0,xer_v (2-9)

ox_i

(2) 溫度邊界條件：同理，在溫度邊界上，給出溫度和溫度梯度為0。

〈=編或性=0,"匚 (2-10)

ox_i

(3) 壓力邊界條件：在壓力邊界上，給出壓力和壓力梯度為0。

=0^—= 0,xeT (2-11)

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